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Majorant
\(M\) est un majorant de \(A\) si \(\forall x\in A, x\leq M\)
Maximum
\(m\) est un maximum de \(A\) si \(\forall x\in A, x\leq m\) et \(m\in A\). C'est un majorant appartenant à \(A\). On le note \(\max(A)\).
Borne supérieure
\(M\) est la borne supérieure de \(A\) si \(M\) est un majorant de \(A\) et s'il en existe pas de plus petits. On le note \(\sup(A)\). C'est le plus petit des majorants
Caractérisation de la borne supérieure
\(M\) \(=\sup(A) \iff M\text{ majore A } \)\(\wedge \forall \varepsilon > 0, \exists x \in A, M-\varepsilon \leq x\)
Limite de suite
La suite a pour limite\(l\) si \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n\geq N \Rightarrow |u_n-l|\leq \varepsilon\)
Série géométrique
\(1+a+a^2+\dots+a^n \) \(= \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\)
Limite de la série géométrique
\(+\infty\) si \(a>1\) et \(\frac{1}{1-a}\) si \(|a|<1\). Dans les autres cas, elle est divergente.
Suite extraite
C'est une suite de la forme \((u_{\varphi(n)})\) avec \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante.
Suite extraite paire/impaire et convergence
La suite \((U_n)\) converge vers \(l\) si \((U_{2n})\) et \((U_{2n+1})\) convergent vers \(l\).
Valeur d’adhérence
\(l\) est une valeur d'adhérence si une suite extraite de \(u_n\) prend \(l\) comme limite.
Négligeabilité
On note \(o(u_n)\) une suite pouvant s'écrire de la forme \((\varepsilon_nu_n)\) avec \((\varepsilon_n \to 0) \) \(= (v_n)\). On dit que \((v_n)\) est négligeable devant \(u_n\).
Limite et négligeabilité
\(v_n \) \(= o(u_n) \iff \lim \frac{v_n}{u_n} \) \(= 0\)
Équivalence et limite
\(u_n\sim v_n \iff \lim \frac{u_n}{v_n} \) \(= 1\)
Équivalence et négligeance
\(u_n-v_n \) \(= o(v_n) \iff u_n\sim v_n\)
Équivalent de puissance
\(u_n\sim v_n \Rightarrow u_n^{\alpha} \sim v_n^{\alpha}\)
Formule de Taylor Young
\(f(x) \) \(= f(a) + f'(a)(x-a)\)\( + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+o((x-a)^n)\)
DL de \(e^x\)
\(1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)
DL de \(\cos x\)
\(1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\)
DL de \(\sin x\)
\(x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\)
DL de \(\cosh x\)
\(1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\)
DL de \(\sinh x\)
\(x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\)
DL de \(\frac{1}{1-x}\)
\(1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\)
DL de \(\frac{1}{1+x}\)
\(1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+o(x^n)\)
DL de \(\ln(1+x)\)
\(x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\)
DL de \((1+x)^\alpha\)
\(1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\)\(\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n\)\(+o(x^n)\)
Théorème des bornes de Weierstrass
Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue sur un segment. Alors il existe deux réels m et M tels que \(f([a,b]) \) \(= [m,M]\). L'image d'un segment est un segment.
Théorème des accroissements finis
Soit f fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a) \) \(= f'(c)(b-a)\)
Équivalence
\(u_n\sim v_n \iff u_n-v_n \) \(= o(v_n)\)