l est une valeur d'adhérence de la suite \(\iff \forall \varepsilon >0,\forall m\in\mathbb{N},\exists n\geq m, |u_n-l|\leq \varepsilon\).

Soit \(u_n\) une suite bornée avec une unique valeur d'adhérence. Alors cette suite converge vers cette valeur d'adhérence

une fonction est continue si \(\forall x\in I,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall y\in I, (|x-y|)<\delta \Rightarrow (|f(x)-f(y)|)<\varepsilon\)

f est continue en un point \(x\in I \iff \forall (x_n)_n \subset I\) qui converge vers \(x\), \((f(x_n))_n\) converge vers \(f(x)\).

Toute fonction continue sur un segment \(I\) \(=[a,b]\) avec \(a,b\in\mathbb{R}, a < b\) est bornée et atteint ses bornes sur I.

L'image d'un segment (intervalle borné et fermé) par une fonction continue est un segment.

Une fonction est uniformément continue sur I \(\iff \forall \varepsilon>0,\exists \delta >0, \forall x\in I, \forall y\in I, (|x-y|)<\delta \Rightarrow (|f(x)-f(y)|)<\varepsilon \)

Une fonction est lipschitzienne \(\iff \exists k\in\mathbb{R}⁺,\forall x,y\in I |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|\)

Toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I.

Toute fonction continue sur un segment I est uniformément continue sur I.

Une suite est de cauchy si \(\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall p,q \in\mathbb{N}, (p\geq N,q\geq N \Rightarrow |u_p-u_q|\leq \varepsilon)\)

1. Toute suite convergente est de Cauchy 2. Toute suite de Cauchy est bornée 3. Une suite de Cauchy ademttant une valeur d'adhérence est convergente.

Toute suite de Cauchy converge