F est un sev s'il contient le vecteur nul et s'il est fermé par addition et multiplication par un scalaire.

\(F\cap G\) est un sev de E. \(F\cup G\) n'est pas un sev de E Le complémentaire \(E\setminus F\) n'est pas un sev

Une famille \((v_1,v_2,\dots,v_n)\) est génératrice \(\iff \forall x\in E, \exists \lambda_1,\dots,\lambda_n\), tels que \(x \) \(= \lambda_1 v_1*\lambda_2v_2+\dots+\lambda_p v_p\)

Une famille \((v_1,v_2,\dots,v_n)\) est libre \(\iff \lambda_1 v_1+\dots+\lambda_n v_n \) \(= 0 \Rightarrow \lambda_1\) \(=\dots\) \(=\lambda_n \) \(=0\)

Une famille \((v_1,v_2,\dots,v_n)\) est libre \(\iff\) aucun des vecteurs n'appartient à l'espace engendré par les autres.

Soit \((v_1,v_2,\dots,v_n)\) une famille libre et x un vecteur quelconque de l’espace engendré par les vecteurs \(v_i\) (c’est-à-dire x est combinaison linéaire des \(v_i\). Alors la décomposition de x sur les \(v_i\) est unique.

Soit G une famille génératrice. Considérons une famille libre \(L\subset G\). Il existe alors une base B telle que \(L\subset B\subset G\). De toute famille génératrice on peut extraire une base.

Dans un espace vectoriel de dimension n, toute famille ayant plus de n éléments est liée. Dans un espace vectoriel de dimension n, les familles ayant moins de n éléments ne peuvent être génératrices.

Toute famille génératrice ayant n éléments est une base. Toute famille libre ayant n éléments est une base.

\(\dim F \leq \dim E, \dim F \) \(= \dim E \iff F\) \(=E\)

On appelle somme de \(E_1,E_2\) le sous-espace de E défini par \(E_1+E_2 \) \(= \{x\in E |\exists x_1\in E_1, \exists x_2\in E_2 : x\) \(=x_1+x_2\}\)

\(E_1, E_2\) sont en somme directe si \(E \) \(= E_1+E_2\) et \(E_1\cap E_2 \) \(= \{0\}\). On le note alors \(E_1\oplus E_2\)

2 espaces sont supplémentaires si \(E \) \(= E_1 \oplus E_2\)

\(E \) \(= E_1\oplus E_2\) \(\iff\) \(E_1\cap E_2 \) \(= \{0\}\) et \(\dim(E) \) \(= \dim E_1+\dim E_2\)

\(\dim(E_1+E_2) \) \(= \dim E_1+\dim E_2-\dim(E_1\cap E_2)\)