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Dérivée partielle
La dérivée partielle de \(f(x_1, \dots, x_n)\) par rapport à \(x_i\) est la dérivée de f par rapport à \(x_i\) en considérant toutes les autres variables \(x_j\) (\(j \neq i\)) comme des constantes. On la note \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\).
Schwarz
Si les dérivées partielles secondes croisées \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) existent et sont continues en un point \((x_0, y_0)\), alors : \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) \) \(= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0, y_0) \)
Relation de Cauchy
\[ \frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x} \]
RG pour une fonction d'une variable
\[\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\]
RG pour une fonction de 2 variables
\[ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \]
RG pour une fonction de 2 variables généralisé
\[ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \quad \]et\[ \quad \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \]
Matrice hessienne et extrema
Si \(rt - s^2 > 0\) et \(r > 0\), f admet un minimum local strict en a. Si \(rt - s^2 > 0\) et \(r < 0\), f admet un maximum local strict en a. Si \(rt - s^2 < 0\), f admet un point selle en a
Matrice hessienne
\[ H_f(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}_{(x_0,y_0)} \]
DL de \(e^x \)
\( 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)
DL de \(\cos(x) \)
\( 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)
DL de \(\sin(x) \)
\( x + o(x^2) \)
DL de \(\cosh(x) \)
\( 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)
DL de \(\sinh(x) \)
DL de \((1+x)^{-1} \)
\( 1 - x + x^2 + o(x^2) \)
DL de \(\sqrt{1+x} \)
\( 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2) \)
DL de \((1+x)^\alpha \)
\( 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2) \)
DL de \(\ln(1+x) \)
\( x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)
Formule de Taylor à l’ordre 2
\(f(x,y) \approx f + \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d} y +\)\( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\mathrm{d} x^2+ 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\mathrm{d} x\mathrm{d} y + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\mathrm{d} y^2 \right)\)