\(\exists C\in\mathbb{R}, \forall p\in\mathbb{N},u_p \leq C\)

\(\exists C\in\mathbb{R}, \forall p\in\mathbb{N}, |u_p|\leq C\)

\(\exists l\in\mathbb{R} \setminus {\infty}, \forall \varepsilon >0,\exists N\in\mathbb{N}, \forall p\geq N, |u_p-l|\leq \varepsilon\)

Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse \((-1)^n\)

\(\forall A\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N, u_p \geq A\)

Toute suite réelle (dé)croissante à partir d'un certain rang tend vers une limite finie ou infinie. Si elle est en plus minorée/majorée, elle tend vers une limite finie.

On dit que u est néglieable devant v, noté \(u_p \) \(= o_{p\to\infty} (v_p)\). Il existe une suite \(\varepsilon\) telle que \(\varepsilon_p\to 0\) et \(u_p \) \(= v_p\varepsilon_p\) à partir d'un certain rang.

\(u_p \) \(= o(v_p) \iff \frac{u_p}{v_p}\to 0\)

on dit que u est dominée par v, noté \(u \) \(= O(v)\) si \(\exists \eta\) une suite bornée telle que \(u_p \) \(= \eta_pv_p\) à partir d'un certain rang.

\(u \) \(= O(v) \iff \exists C \in\mathbb{R}\) telle que \(\forall p\geq N, |\frac{u_p}{v_p}| \leq C\)

La suite u est éuivalente à v, noté \(u\sim v\) si \(u_p \) \(= v_p + o(v_p)\) ou encore \(\exists \varepsilon \to 0, \forall p\geq N, u_p \) \(= v_p + \varepsilon_pv_p \) \(= (1+\varepsilon_p)v_p\)

\(u_p \sim v_p \iff \frac{u_p}{v_p} \to 1\)

2 suites équivalentes convergent vers la même limite l. De plus si l’une diverge vers \(\infty\), l’autre aussi.

v est une suite extraite de \(u \iff \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(\forall p\in\mathbb{N}, v_p \) \(= u_{\varphi(p)}\).

Toutes les suites extraites d’une suite convergente convergent vers la même limite

Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.

On dit que u est de Cauchy si elle vérifie une des 2 prorpiétés suivantes équivalentes : \(\forall \varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall p\>N, q>N, |u_p-u_q|\leq\varepsilon\) Ou \(\forall \varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall p\>N, q>N, |u_{p+q}-u_p|\leq\varepsilon\)

Toute suite convergente est de Cauchy

1. Toute suite de Cauchy est bornée. 2. Si la suite admet en plus une sous-suite convergente, alors elle converge. 3. Si une suite de Cauchy est définie dans les complexes ou les réels, elle converge.

\(u_{n+1} \) \(= q u_n +a \Rightarrow u_n \) \(= q^n u_0 + \frac{1-q^n}{1-q}a\)

\(u_{n+1} \) \(= u_n \times q \Rightarrow u_n \) \(= u_0\times q^n\)

\(u_{n+1} \) \(= u_n + r \Rightarrow u_n \) \(= u_0+nr\)

Si les 2 racines sont réelles : \(u_n \) \(= (u_0-\frac{v_0}{\lambda_2-\lambda_1})\lambda_1^n+\)\(\frac{v_0}{\lambda_2-\lambda_1})\lambda_2^n\) avec \(v_n \) \(= u_{n+1}-\lambda_1u_n\) et si il y a une racine double réelle : \(u_n \) \(= u_0\lambda^n +\)\( n\lambda^n(\frac{u_1}{\lambda}-u_0)\)

on en met une sous la forme \(re^{i\theta}\) et on écrit \(u_n \) \(= u_0 r^n \cos(n\theta)\)\(+(-u_0\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\)\( + \frac{u_1}{r\sin(\theta)}) r^n \sin(n\theta)\)