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DL d’une fonction en 0
On dit que f admet un développement limité en 0 à l'ordre m si il existe un polynôme \(P\in\mathbb{R}_m[X]\) et une fonction \(\varepsilon : I\to \mathbb{R}\) telle que \(\varepsilon \to 0\) tel que \(\forall x\in I, f(x) \) \(= P(x) + x^m\varepsilon(x)\).
Équivalence d’une fonction admettant un DL à l’ordre 0
\(f\) admet un DL limité en 0 à l'ordre 0 \(\iff f\) est continue en 0. Dans ce cas, \(a_0 \) \(= f(0)\)
Équivalence d’une fonction admettant un DL à l’ordre 1
\(f\) admet un DL à l'ordre 1 en 0 \(\iff f\) est dérivable en 0. Dans ce cas, \(a_1 \) \(= f'(0)\).
On dit que f admet un développement limité en 0 à l'ordre m si il existe un p\^olynome \(P\in\R_m[X]\) et une fonction \(\varepsilon : I\to \R\) telle que \(\varepsilon \to 0\) tel que \(\forall x\in I, f(x) \) \(= P(x) + x^m\varepsilon(x)\).
Fonction p fois dérivable
pour \(p\in \N,\) la dérivée \(p^{ene}\) de \(f:I\to \R\), notée \(f^{(p)}\) est définie récursivement : \(f^{(0)} \) \(= f\) et si \(f^{(p-1)}\) est dérivable sur I, alors \(f^{(p)} \) \(= (f^{(p-1)})'\).
Classe d’une fonction
On dit que f est de classe \(C^p\) sur I si f est p fois dérivable sur I et la dérivée p-ème est continue.
Dérivation p fois d’un produit de fonction
\(fg\) est p fois dérivable sur I et \((fg)^{(p)} \) \(= \sum^p_{m=0} C^m_p f^{(m)}g^{(p-m)}\)
Dérivation de l’inverse d’une fonction
Si \(g : I\to \mathbb{R}\) est n fois dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, alors la fonction \(f: x\in I\to \frac{1}{g(x)}\) est n fois dérivable aussi.
Dérivée et application réciproque
Soit \(f:I\to\mathbb{R}\) \(n\neq 0\) fois dérivable telle que f' ne s'annule pas sur I. Alors f est une bijection de I dans \(f(I) \) \(= J\in\mathbb{R}\). On a alors l'application réciproque \(f^{-1}\) est n fois dérivable. On a aussi \(f^{-1} : J\to I\), On a enfin \(f'(f^{-1}(x))(f^{-1})(x) \) \(= 1 \iff f^{-1'} \) \(= \frac{1}{f'\circ f^{-1}}\)
Théorème de Taylor-Young
Si f est \((n\geq 1)\) fois dérivable en 0, alors \(f(x) \) \(= f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2} f''(0)+\dots + \frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+o(x^n)\)
Théorème de Taylor-Lagranges
Si f est \((n\geq 1)\) fois dérivable sur I, alors \(\forall x\in I, \exists c_x \in[\min(0,x), \max(o,x)]\) tel que \(f(x) \) \(= f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0)+\dots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(c_x)\)
Théorème de Taylor-Laplaces
Si f \(I\to \R\) tel que f tes de classe \(C^p(I)\), alors \(\forall x\in I\), \(f(x) \) \(= f(0)+xf'(0)+\dots+\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}f^{(p-1)}(0) + \) \(\int^x_0f^{(p)}(s) \frac{(x-s)^{p-1}}{(p-1)!}\mathrm{d} s\)
Dérivée de la fonction réciproque
\(f^{-1'} \) \(= \frac{1}{f'\circ f^{-1}}\)