On appelle série de terme général \(u_k\) la suite \(S_n\) définie par \(S_n \) \(= \sum_{k\) \(=0}u_k\). On appelle aussi \(S_n\) la somme partielle de la série.

On dit que la série est convergente si sa somme partielle est une suite convergente. Dans ce cas, on appelle somme de la série la limite de \(S_n\). On le note \(\sum^{+\infty}_{k\) \(=0}\).

On note le reste d'une série convergente \(R_n \) \(= \sum_{k\) \(=n+1}^{+\infty}\). On a \(S \) \(= S_n+R_n\). C'est ce qui manque pour que \(S_n\) soit égale à la limite de la série, \(S\). C'est en quelque sorte le ``complémentaire'' de la série.

Si une série est convergente, alors \(\Lim{+\infty} R_n \) \(= 0\)

C'est une série de la forme \(\sum_{k\geq 0} (a_{k+1}-a_k)\). Si la limite l de \(a_k\) existe, la somme de la série vaut \(l-a_0\).

Si \(\sum u_k\) est convergent, alors \(U_k \to 0\).

Une série converge \(\iff \forall \varepsilon >0, \exists n_0\in\mathbb{N},\)\( \forall m,n \geq n_0, |u_n+\dots+u_m|<\varepsilon\)

Pour 2 séries à termes postifs, \(u_k\leq v_k\), alors si \(\sum v_k\) converge, \(\sum v_k\) converge. Inversement, si \(\sum u_k\) diverge, \(\sum v_k\) diverge.

Si \(a>1\), alors la série \(\sum_{k}^n \frac{1}{k^a}\) converge. Si \(0< a \leq 1\), elle diverge.

Soit la série \(\sum_{k}^n \frac{1}{k^a(\ln(k))^b}\). Si \(0< a < 1\), elle diverge, si \(a>1\) elle converge et si \(a\) \(=1\), avec \(b>1\), elle converge, avec \(b\leq 1\), elle diverge.

Soient une série à termes strictement positifs telle que \(\frac{u_{k+1}}{u_k} \to l\). Si \(l<1\), la série converge, si \(l>1\), la série diverge.

Soient une série à termes strictement positifs. Si il existe, on note \(l \) \(= \lim \sqrt[n]{u_n}\). Si \(l<1\), la série converge, si \(l>1\), la série diverge.