MECANIQUE ANALYTIQUE Équation de Hamilton 4 Chapitre Équation de Hamilton 4 1Notions de variables conjuguées et transformation de Legendre L accès au formalisme hamiltonien repose sur un changement de variables des vitesses généralisées q i vers les moments conjugués pi Historiquement cette transition répond à la recherche d une symétrie accrue dans les équations du mouvement une problématique initialement abordée par Legendre Pour lier le formalisme lagrangien au formalisme hamiltonien on utilise la transformation de Legendre pi Définition 1 1 Transformation de Legendre Soit une fonction f x dont la dérivée est u f x On définit sa transformée de Legendre g u par g f ux 4 1 Sa différentielle vérifie alors dg vdx xdu où v f x dans un cadre multidimensionnel ce qui donne les relations réciproques x g u et v g x 4 2 En appliquant cette transformation mathématique au Lagrangien L qi q i t on effectue les identifications suivantes Variables de départ x q i et y qi Nouvelle variable moment conjugué u pi L q i Fonctions f L et g H Attention Le Hamiltonien H qi pi t doit impérativement être exprimé en fonction des positions qi et des moments pi

• Équation de Hamilton Page 1
• Notions de variables conjuguées et transformation de Legendre Page 1
• Exemple : Particule dans un potentiel Page 2
• Crochets de Poisson Page 2
• Transformations canoniques Page 4
• Formalisme et notation symplectique Page 4
• Exemple d'application Page 5
• Théorèmes de Liouville Page 6