Soit I un ensemble. On appelle famille de vecteurs de E, une collection de vecteurs de E indexée sur I. \(F \) \(= \{v_i,i\in I\}\) avec \(\forall i\in I, v_i \in E\).

On note Card(F) = Card(I) le cardinal de F. C’est le cardinal des indices et non des éléments

Soit F une famille de vecteurs de E, indexée sur I. On appelle combinaison linéaire de vecteurs de F tout vecteur de E s'écrivant \(\lambda_1\cdot v_{i1}+\lambda_2\cdot v_{i2}+\dots+\lambda_n\cdot v_{in}\) avec \(N\leq Card(I)\in \N, i_k\in I\).

C’est l’ensemble des vecteurs issus des combinaisons linéaires, C’est un sev de E

On note \(Vect(F)\) l'ensemble du résultat des combinaisons linéaires de F (qui vérifient \(Vect(F)\subset E\)).

Soit F une famille de vecteurs de E et G un sev de E. On dit que F est une famille génétratrice de G \(\iff\) Vect(F) \) \(= G.

Soit F une famille de vecteurs de E. On dit que la famille F est libere \(\iff \forall N\in\N, \forall(i_1\dotsi_N)\in I^{\N}, i_p\neq i_q \Leftarrow p\neq q, \lambda_1v_{i1}+\dots + \lambda_N v_{iN} \) \(=0_E \iff \lambda_N \) \(= 0\). On dit alors que les vecteurs de F sont linéairement indépendants.

Soit F \()\{v_1, i\in I\}\) une famille finie. F est libre \(\iff \sum_{i\in I}\lambda_i v_i \) \(= 0_E \iff \lambda_i \) \(= 0 \forall i\in I\)

Si une famille contient le vecteur nul ou 2 fois le même vecteur, elle est liée

F est liée \(\iff \exists k\) tq \(v_k \in Vect(F \setminus v_k)\).

F est une base de \(G \iff Vect(F) \) \(= G\) et F est libre.

est de dimension finie si il admet une famille génératrice finie.

Soit E un espace vectoriel de dim finie et F une famille finie. F est une base de E \(\iff \forall u\in E, \exists! (\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in \R^d tq u \) \(= \lambda_1e_1+\dots+\lambda_de_d)\). Les réels \(\lambda\) sont appelés coordonnées du vecteur u dans la base F.

Soit E un espace vectoriel. Si E est de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le m\^eme nombre d'éléments. Ce nombre est un entier appelé dimension de l'espace noté \(\dim(E)\).

Soit E un ev de dimension finie. Soit F une famille de vecteurs de E. Si F est libre\( \Rightarrow Card(F)\leq \dim(E)\). Si \(Card(F)>\dim(E) \Rightarrow F\) est liée et si \(F\) est générateur \(\Rightarrow Card(F) \geq \dim(E)\).

Soit E un ev de dim finie et B une famille de vecteurs de E. Alors \(B\) est une base \(\iff B\) est une famille libre avec \(Card(B) \) \(= \dim(E)\) \(\iff B\) est une famille génératrice avec \(Card(B) \) \(= \dim(E)\)

Soit E un ev et F un sev de E. Alors \(\dim(F)\leq \dim(E)\). En particulier, si E est de dimension finie, F est de dimension finie.

E est un ev de dimension finie, F sev de E. Alors F\) \(=E \(\iff \dim(F) \) \(= \dim(E)\).

E ev de dimension finie. F et G sev de E en somme directe. Alors \(\dim(F+G) \) \(= \dim(F)+\dim(G)\).

E est un ev de dimension finie. Fet G 2 sev de E. \(\dim(F)+\dim(G) \) \(= \dim(F+G) + \dim(F\cap G)\)

F et G sont supplémentaires dans E \(\iff\) \(F\cap G \) \(= \{0_E\}\) et \(\dim(F)+\dim(G) \) \(= \dim(E)\) \(\iff\) \(G+F \) \(= E\) et \(\dim(F)+\dim(G) \) \(= \dim(E)\).

Soit E ev de dimension finie. Soit L famille libre de vecteurs de E. Alors \(\exists B\) base de \(E\) tq \(L\subset B\). Soit G une famille génératrice de E. Alors \(\exists B\) une base tell que \(B\subset G\).