C'est toute famille de réels \(u \) \(= (x_i)_{0\leq i\leq n}\) telle que \(a \) \(= x_0

Une fonction est dite en escalier s'il existe une subdivision u telle que la fonction est constante sur chaque intervalle ouvert \(]x_{i-1},x_i[\). On dit alors que u est une subdivision adaptée à la fonction.

On dit qu'une fonction est continue par morceaux si on peut trouver une subdivision adaptée à f telle que la restriction de f à chaque intervalle \(]x_{i-1},x_i[\) soit continue et admette des limites finies à droite de \(x_{i-1}\) et à gauche de \(x_i\).

f est prolongeable par continuité en a si f possède une limite a.

Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment. Pour tout \(\varepsilon >0, \exists \theta\) en escalier tq \[\forall x\in [a,b], |f(x)-\theta(x)|<\varepsilon\]

Soit f cpm sur [a,b]. \(\forall \varepsilon >0,\exists \phi,\psi\) en escalier telles que \(\forall x\in[a,b], \phi(x)\leq f\leq \psi(x)\) et \(\psi-\phi \leq \varepsilon\).

On a \[\int \varphi \) \(= \sum^{n}_{i\) \(=1} c_i(x_i-x_{i-1})\] qui ne dépend pas de la subidivisoon choisie, avec \(c_i\) la valeur de la fonction entre \(x_i\) et \(x_{i-1}\).

Si f est cpm, on appelle intégrale de f \(\sup(\{\int \varphi, \varphi \in E^-(f)\}) \) \(= \inf(\{\int \psi, \psi \in E^+(f)\})\). \(E^+, E^-\) sont les ensembles des fonctions en escalier supérieures et inférieures à f.

On dit que la fonction est intégrable au sens de Riemann si \(\sup(I^-) \) \(= \inf(I^+(f))\) avec I+ et I- les ensembles des intégrales des fonctions en escalier supérieures et inférieures à f,

Si \(f\) est cpm sur un intervalle, alors \(|f|\) l'est aussi et \(|\int_{I} f| \leq \int_I |f|\)

Si f et g sont cpm, alors leur produit l'est aussi et \(|\int_I fg| \leq \sup_I(|f|) \times \int_I |g|\)

Si f est cpm, on a \(|\int_{[a,b]} f| \leq (b-a)\sup_{[a,b]}(|f|)\)

\(\inf_{[a,b]}(f) \leq \frac{1}{b-a}\int_{[a,b]}\leq \sup_{[a,b]}(f)\)

Si f est continue et positive sur [a,b], alors \(\int f \) \(= 0 \Rightarrow f \) \(= 0\) sur \([a,b]\)

Soit f continue sur \([a,b]\) et u une subidivision. On appelle Somme de Riemann associée à u la quantité \(\frac{b-a}{n}\sum^{n-1}_{i\) \(=0} f(a+i\frac{b-a}{n})\)

\(\lim S_R \) \(= \int^b_a f(x)\dd x\)

La fonction \(F_a\) définie par \(\forall i\in I, F_a(x) \) \(= \int^x_af(t)\dd t\) est l'unique primitive de f qui s'annule en a

Soient u et v deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \([a,b]\). \(\displaystyle\int_a^b u(x) \, v'(x)\;dx\) \(= \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'(x) \, v(x)\;\dd x\)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et \(\varphi : J \to I\) une bijection de classe \(\mathcal{C}^1\). Pour tout \(a,b\in J\), on a \(\displaystyle\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \; dx \) \(= \int_a^b f\big(\varphi(t)\big)\cdot\varphi'(t) \; dt\) Si F est une primitive de f alors \(F\circ \varphi\) est une primitive de \(\big(f \circ \varphi\big)\cdot\varphi'\).