Noté \(Ker(f)\), c’est l'ensemble des antécédants du vecteur nul \(\{x\in E, f(x)\) \(=0_F\}\subset E\).

\(Ker(f)\) est sev de E et \(Im(f)\) est un sev de l’espace d’arrivée

\(f\) est surjective \(\iff\) \(Im(f)\) \(=F\). Elle est injective \(\iff\) \(Ker(f) \) \(= \{0_E\}\)

Soit f un isomorphisme de E dans F. Alors \(f^{-1} \in L(F,E)\)

On dit que \(p\in L(E)\) est un projecteur \(\iff p^2 (\) \(= p\circ p) \) \(= p\)

\(\forall v \in Im(p), p(v) \) \(= v\) et \(E \) \(= Im(p)\oplus Ker(p)\)

E un ev, F et G supplémentaires dans E : \(\forall u \in E, \exists! u_F,u_G tq u \) \(= u_F+u_G\). On appelle projection sur F parallèlement à G l'application \(p: u_F+u_G \to u_F\).

On appelle projection sur F parallèlement à G l'application \(p: u_F+u_G \to u_F\). Alors \(p\in L(E)\) \item \(p^2\) \(=p\), Im(p) \) \(= F, Ker(p) \) \(= G

\(p\in L(E)\) est un projecteur \(\iff Id_E-p\) est un projecteur.

Soit \(s\in L(E)\). C'est une symétrie \(s^2 \) \(= Id_E\).

si s est une symétrie, \(p \) \(= 0.5(s+Id_E)\) est un projecteur

si p est un projecteur, alors \(s \) \(= 2p-Id_E\) est une symétrie

Soit E un ev, F et G 2 sev supplémentaires de E. On définit \(s : u \) \(= u_F+u_G\in E \to u_F-u_G\in E\). On a \(Ker(s-Id_E) \) \(= F, Ker(s+Id_E) \) \(=G\)

Si E est de dim finie, Soit \(F\in L(E,F)\). Alors \(Im(f)\) est de dimension finie \(\leq N\). On appelle cette dimension rang de \(f\), noté \(rg(f)\).

Soit B une base de E de dim finie. Soit \(p\in \{1,\dots,\N\}\). On note \(C_{pi}u \) \(= \lambda_1e_1+\dots+\lambda_Ne_N \in E \to \lambda_p\in \R\). Alors \(C_p\) est une forme liénaire, et pour tout \(u\in E, u \) \(= c_1(u)e_1+\dots+c_N(u)e_N\). \(C_p\) est appellée application p-ème coordonnée dans la base B.

Si f est un isomorphisme (bijective), alors F a la dimension de E (finie).

Supposons \(\dim(F)< +\infty\). Alors \(L(E,F)\) est de dimension finie et \(\dim(L(E,F)) \) \(= \dim(E)\times \dim(F)\)

Soit \(f\in L(E,F)\). Alors \(\dim(Ker(f)+rg(f) \) \(= \dim(E)\)