On dit qu’une fonction f : I → R est continue par morceaux sur I si pour tout segment [c,d] ⊂ I, la restriction f |[c,d] est continue par morceaux sur [c,d].

Si \(I \) \(= [a,+\infty]\), l'intégrale converge si la limite quand \(x\to \infty\). On a alors \[\int^{+\infty}_{a} f(t)\dd t \) \(= \Lim{x\to +\infty} \int^x_a f(t)\dd t\] Si \(I \) \(= ]a,b]\), l'intégrale converge si la limite quand \(x\to a\). On a alors \[\int^{b}_{a} f(t)\dd t \) \(= \Lim{x\to +\infty} \int^x_a f(t)\dd t\]

\(\int^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}\) converge et \(\int^{+\infty}\frac{1}{1+t}\) diverge

Relation de Chasles, Linéarité, Positivité, Intégration par parties

Si f prend des valeurs positives, \(\int^{+\infty}_a\) converge \(\iff x\to \int^x_a\) est majorée

\(\int^{+\infty}_1\frac{1}{t^{\alpha}}\) converge si \(\alpha > 1\). Dans le cas contraire, elle diverge.

\(\int^{1}_0\frac{1}{t^{\alpha}}\) converge si \(\alpha < 1\). Dans le cas contraire, elle diverge.

\(\int^{+\infty}_2\frac{1}{t(\ln(t))^{\beta}}\) converge si \(\beta > 1\) ou . Dans le cas contraire, elle diverge.

\(\int^{1/2}_0\frac{1}{t|(\ln(t))|^{\beta}}\) converge si \(\beta<1\) ou \((\beta\) \(=1 et \alpha>1)\). Dans le cas contraire, elle diverge.

Si 2 fonctions positives sont équivalents en un point incertain, leur intégrale sont de m\^eme nature près de ce point.