Soit A une matrice. Le coefficient situé en ligne i et colonne j de A est noté \(A_{ij}\). On note \(\mathcal{M}_{pq}(\R)\) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients réels

Munie de ces opérations, \(\mathcal{M}_{pq}(\R)\) est un R-espace vectoriel de dimension finie \(p\times q\)

Soit A une matrice. On appelle transposée de A, notée \(A^T, A^t, t_A,T_A\) la matrice de q lignes et p colonnes. On a \(A^T_{ij} \) \(= A_{ji}\). L'application de transposition est une application linéaire.

Si A est une matrice carrée : 1. A est symétrique si \(A^T \) \(= A\). On note S l'ensemble des matrices symétriques 2. A est anti-symétrique si \(A^T \) \(= -A\) On note AS cet ensemble. On a alors S et AS sont des SEV de \(\mc{M}_C(\R)\) et \(\mc{M}_C\ \) \(= S\oplus AS\)

Soit une matrice carrée. La trace est la somme des éléments diagonaux. Cette application est une forme linéaire

Prenons 2 matrices de tailles quelconques. On appelle produit des matrices \(A_{pq}\) et \(B_{qr}\) la matrice C définie par \[C_{ij} \) \(= \sum^{q}_{k\) \(=1} A_{ik}B_{kj}\]

Soit \(A_{np}, B_{pq}, C_{qr}\). Alors \((AB)C\) \(=A(BC)\). L'ordre n'a pas d'importance. De plus, \(A(B+C) \) \(= AB+AC\). % Enfin, \(OA \) \(= O \) \(= AO\)

Il n'est ni commutatif ni intègre : On a pas AB = BA m\^eme quand les 2 produits sont définis. Si AB = 0, cela n'implique pas A est nul ou B est nul. AB = AC n'implique pas que B = C.

\((AB)^T \) \(= B^TA^T =tr(AB) \) \(= tr(BA)\)

On prend une matrice carrée et un polyn\^ome. Le polynome de la matrice est toujours une matrice carrée.

Une matrice carrée est dite nilpotente si \(\exists k\in \N, \tq A^k \) \(= 0\)

Pour ces matrices là, on peut appliquer la formule du binome de Newton. Soit 2 matrices carrées. On dit que A et B commutent si \(AB \) \(= BA\). On a alors \(\forall m \in \N, (A+B)^m \) \(= \sum^m_{k\) \(=1}C^k_m A^kB^{m-k}\).

Pour A, on pose \(f_a:X\in \mc{M}_Q(\R)\to AX\mc{M}(\R)\) qui est une application linéaire

1. Le système \(S_A\) admet au moins une solution \(\iff f_a\) est surjective. 2. Si la fonction est injective, le système admet au plus une solution. 3. Si la fonction est bijective, le système admet exactement une soltion. 4. si \(q>p\) (plus d'inconnues que d'équation), f n'est pas injective et si le système admet une solution, il en admet une infinité. 5. Si \(q

Soit A carrée. dit que A est inversible si \(\exists B\) de meme taille telle que \(AB \) \(= BA \) \(= I_d\). Dans ce cas, B est unique, et notée \(A^{-1}\).

Soit A carrée. Les 3 propositions suivantes sont équivalentes 1. \(A\in GL_p(\R)\) (A est inversible) 2. \(f_A : X\in \mc{M}_p \to AX \in \mc{M}_{p,1}\) est bijective 3.\(\exists B\in M_p, AB\) \(=I_d\)

Soit A une matrice inversible. Alors \(A^T\) est inversible et \((A^T)^{-1} \) \(= (A^{-1})^T\)

Soit A inversible et B et C carrées \(AB\) \(=AC \Rightarrow B\) \(=C\)

Si A a une colonne/ligne remplie de 0, elle n'est pas inversible

Soit A \) \(= \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) et B \) \(= \(\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\). Alors A est inversible ssi \(ad-bc \neq 0\) et alors \(A^{-1}\) \(= \frac{1}{ad-bc}B\)

A est inversible ssi \(C_1,C_2\dots C_p\) est une base de \(M_{p1}\) ou ssi \(L_1,L_2\dots L_p\) est une base de \(M_{1,p}\) avec C les matrices colonnes et L les matrices lignes

Soit \(A\in M_{p,q}, f_A : X\in M_{q,1}(\R) \to AX \in M_{p,1}(\R)\) On appelle rang de la matrice A l'entier noté \(rg(A)\) définit par \(rg(A) \) \(= rg(f_A)\)

Soit \(A \) \(= [C_1,C_2,\dots,C_q]\). Alors \(rg(A) \) \(= \dim(Vect(C_1,C_2,\dots,C_3)) \) \(= rg(A^T) \) \(= \dim(Vect(L_1,L_2,\dots, L_p))\).

Soit A une matrice carrée. Elle est invsersible \(\iff rg(A) \) \(= p\)

Soient f et g deux éléments de \(L(E,F)\), B est une base de E, \(B_a\) est une base de F, \(\lambda \in R\). Alors 1. \(M_{B,B_a}(f+g) \) \(= M_{B,B_a}(f) + M_{B,B_a}(g)\) 2. \( M_{B,B_a}(\lambda f) \) \(= \lambda M_{B,B_a}(f)\)

Soient \(f\in L(E,F), g\in L(F,G),\), B une base de E, \(B_a\) une base de F, \(B_b\) une base G Alors \(g\circ f \in L(E,G)\) et \(M_{B,B_b}(g\circ f) \) \(= M_{B_a, B_b}(g) M_{B,B_a}(f)\)

\(f\in L(E), q\in \N, f^q \) \(= f\circ f \circ f\dots\) \(M_B(f) \) \(= M_{B}(f)^q\)

\(f\in L(E, F), M_{B,B_a}(f) \in M_{p}(\R)\). \(f\) est un isomorphisme \(\iff M_{B,B_a}(f)\) est inversible Si f est un isomorphisme, \(M_{B_a, B}(f^{-1}) \) \(= M_{B,B_a}(f)^{-1}\) Soit \(f\in L(E), B\). f est bijective \(\iff M_B(f)\) est inversible et \(M_B(f^{-1}) \) \(= M_B(f)^{-1}\)

Soit B et \(B_a\) 2 bases de E. On appelle matrice de passage de la base B à la base \(B_a\) la matrice \(M_{B_a,B}(I_d)\)

\(M_{B_a,B}(Id_E)\) est toujours inversible et \(M_{B_a,B}(I_d)^{-1} \) \(= M_{B,B_a}(I_d)\)

Soient 3 bases de E. Alors \(M_{B1,B3}(Id_E) \) \(= M_{B2,B3}(Id_E)M_{B1,B2}(Id_E)\)

Soient \(B_1,B_2,\bar{B_1}, \bar{B_2}, f\in L(E,F)\). Alors \(M_{B_2,\bar{B_2}}(f) \) \(= M_{\bar{B_1}, \bar{B_2}}M_{B_1, \bar{B_1}}(f)M_{B_2, B_1}(Id_E)\)