Soient E et F deux R-EV et \(L:E^p\to F\). On dit que L est p-liénaire si elle est linéaire en chacune de ses variable, i.e. \(\forall (u_1,\dots, u_{p-1}\in E^{p-1}), \forall I\in \{1,\dots, p\}, L_I : v\in E \to L(u_1,\dots, u_{I-1},v,\dots u_I,\dots, u_{p-1})\).

Soit une application p-linéaire si on met en position i le vecteur nul, le résultat est le vecteur nul de l'espace d'arrivé.

L est une forme p-linéaire si l'espace d'arrivé est l'espace des réels.

Soit L une forme p-linéaire. L est alternée si \(\forall (u_1,\dots, u_p)\in E^p\), si \(\exists (i\neq j)\tq u_i \) \(= u_j\), alors \(L(u_1,\dots, u_p) \) \(= 0\)

Soit \(L : E^p \to \R\) une forme p-linéaire alternée. Soit \(\forall (u_1,\dots, u_p)\in E^p\, \forall (i,j)\in \{1,\dots, p\}\). Alors \(L(u_1,\dots, u_i,\dots, u_j,\dots, u_p) \) \(= - L(u_1,\dots, u_j,\dots, u_i,\dots, u_p)\)

Soit E un ev et L une forme p-linéaire alternée sur E. \(\forall (u_1,\dots, u_p)\) famille liée de E, alors \(L(u_1,\dots, u_p) \) \(= 0\)

Soit L une forme 2-linéaire alternée. Alors \(\forall u \) \(= a_1+be_2,\forall v \) \(= \alpha e_1+\beta e_2, L(u,v) \) \(= (a\beta-\alpha b)L(e_1,e_2)\). Ainsi, la connaissance de \(L(e_1,e_2)\) équivaut à connaitre L

Posons \(L_B : (u,v) \to a\beta -\alpha b\). C'est l'unique forme 2-linéaire alternée vériffiant \(L(e_1,e_2) \) \(= 1\). On l'appelle le Déterminant en base B, noté \(\det_B\).

Soit L une forme 2-linéaire alternée, alors \(L(u,v) \) \(= \det_b(u,v)L(e_1,e_2)\)

Soit (u,v) une famille de E. (u,v) est une base de E \(\iff\) son Déterminant dans la base B est \(\neq 0\)

Soit B et C 2 bases de E. \(det_B(b_1,b_2)det_C(e_1,e_2) \) \(= 1\)

Soit E un EV de dimension p, B et C 2 bases de E. Soit \(f\in l(E)\). Alors \(det_B(f(b_1),\dots, f(b_p)) \) \(= det_C(f(e_1)\dots, f(e_p))\)

Noté \(det(f)\), c'est le réel \(det_B(f(b_1),\dots, f(b_p))\) avec \(B \) \(= (b_1,\dots, b_p)\) une base quelconque

\(\forall (u_1,\dots, u_p), det_B(f(u_1), \dots, f(u_p)) \) \(= det(f)det_b(u_1,\dots, u_p)\)

1. Soient 2 endomorphismes. \(det(f\circ g) \) \(= det(f)\times det(g)\) 2. \(det(I_d) \) \(= 1\) 3. \(f\in L(E).\) f est bijectif \(\iff det(f)\neq 0\). Dans ce cas, \(det(f^{-1})\) \(=det(f)^{-1}\)

On appelle dtéerminant de A, noté \(det(A)\) le réel \(det(f_A)\)

1. \(det(AB) \) \(= det(A)det(B)\) 2. \(det(Id) \) \(= 1\) 3. A est inversible \(det(A)\neq 0\). Alors, \(det(A^{-1}) \) \(= det(A)^{-1}\)

Soit E un ev de dimension p, B une base de E, \(f\in L(E)\) et \(A \) \(= Mat_B(f)\). Alors \(det(f) \) \(= det(Mat_B(f)) \) \(= det(A)\)

Soit une matrice carrée et on fixe I une ligne. Alors \(det(A) \) \(= \sum_{j\) \(=1}^p (-1)^{I+j}A_{ij}det(R_{ij}A)\)

Soit une matrice carrée et on fixe J une colonne. Alors \(det(A) \) \(= \sum_{i\) \(=1}^p (-1)^{I+j}A_{ij}det(R_{ij}A)\)

\(det(A) \) \(= det(A^T)\).

Soit B une base de E et une famille de vecteurs de E. On pose f définie par \(f(b_i) \) \(= u_i,\). Alors \(det(f) \) \(= det(u_1,\dots, u_p)\)

Soit B une base de E et une famille de vecteurs u de E. On pose \(u_j \) \(= \sum_{k\) \(=1}^p a_{kj}b_k\) et on définit \(A\in M_p(\R) : A_{ij} \) \(= a_{ij}\). On remarque que chaque colonne comporte les coordonnées de chaque vecteurs de la famille dans la base. Alors \(det(B(u_1,\dots, u_p)\) \(=det(A))\). En particulier, \((u_1,\dots, u_p)\) est une base ssi A est inversible.

On appelle comatrice de A, matrice carré la matrice définie par \(a_{ij} \) \(= (-1)^{i+j}\cdot det(R_{ij(A)})\)

\(A\cdot Com(A)^T \) \(= det(A)I_p\), donc \(A^{-1} \) \(= \frac{Com(A)^T}{det(A)}\)

Le déterminant d'une matrice 22 est \(\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix} \) \(= ad-bc\)