Terme

Ensemble

Définition

Il est constitué d'éléments et est défini par une relation d'appartenance

Terme

Assertion

Définition

Phrase grammaticalement correcte dont on peut dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse

Terme

Vérité d’une impliqation dont la première assertion est fausse

Définition

Vrai

Terme

Contraposée d’une implication

Définition

\((P \Rightarrow Q) \iff ( \neg Q \Rightarrow \neg P)\)

Terme

Négation d’une implication

Définition

\( \neg (P \Rightarrow Q) = P \wedge \neg Q\)

Terme

Prédicat

Définition

une phrase correcte qui dépend de variables et dont on peut dire la valeur de vérité pour tout k-uplet donné

Terme

Tautologie

Définition

Formule propositionnelle toujours vraie

Terme

Contradiction

Définition

Formule propositionnelle toujours fausse

Terme

Raisonnement par récurrence

Définition

Si \((P(0)\) et \(( \forall n\in \mathbb{N}, P(n) \Rightarrow P(n+1)\), alors \( \forall n\in \mathbb{N}, P(n)\)

Terme

Récurrence à 2 pas

Définition

Si \((P(0)\wedge P(1)) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \wedge P(n+1) \Rightarrow P(n+2))\), alors \(P(n)\).

Terme

Récurrence forte

Définition

Si \(P(0) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, [\forall \mathbb{R} \in \{0,\dots,n\}, P(k) \Rightarrow P(n+1)])\), alors \(P(n) \forall n \in \mathbb{N}\).

Terme

2 ensembles sont égaux ssi

Définition

\(\forall x, x \in E \iff x \in F\(

Terme

E est inclu dans F ssi

Définition

\(\forall x, x \in E \Rightarrow x \in F\). On écrit alors \(E \subset F\). E est un sous ensemble de F

Terme

Propriété et unicité de l’ensemble vide

Définition

Il existe un unique ensemble appelé ensemble vide noté \(\varnothing\), tel que \(\forall x, x \notin \varnothing\).

Terme

Parties de E

Définition

L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E est un Ensemble E, que l'on note P(E)

Terme

Notation de l’ensemble des des x de E qui vérifient P(x)

Définition

la collection des x de E qui vérifient P(x) est un ensemble. On le note \((x, x \in E \wedge P(n)\)

Terme

Notation de \(E \backslash F\)

Définition

L’ensemble \(\{x \in E, x \notin F\}\)

Terme

Prduduit cartésien

Définition

l'ensemble des couples \(E\times F = \{(x;y), x\in E, y \in F\}\)

Terme

Complémentaire de A dans E

Définition

Noté \(\bar{A}\), c' est l'ensemble défini par \(x\in \bar{A} \iff x \notin A\). Ainsi, \(\bar{A} = \{x\in E, x\notin A\}\)

Terme

\(\overline{A\cap B} = ? \) \(\overline{A\cup B} = ?\)

Définition

\(\overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\). \(\overline{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\)

Terme

\(A\cap(B\cup C) = ?\) \(A\cup (B\cap C) = ?\)

Définition

\(A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\). \(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

Terme

\(\bar{\varnothing} = ?\). \(\bar{E} = ?\). \(\bar{\bar{A}} = ?\).

Définition

\(\bar{\varnothing} = E\). \(\bar{E} = \varnothing\). \(\bar{\bar{A}} = A\).

Terme

Définition de \(\bigcap\limits_{i\in I}\)

Définition

\(\bigcap\limits_{i\in I} = \{x, x\in F_i, \forall i \in I\}\).

Terme

Définition de \(\bigcup\limits_{i\in I}\)

Définition

\(\bigcup\limits_{i\in I} = \{x, \exists i\in I, x\in F_i\}\).

Terme

Surjectivité

Définition

f est surjective de \(E \rightarrow F \iff \forall y\in F, \exists x\in E, y = f(x) \iff\) tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.

Terme

Injectivité

Définition

f est injective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x'))\) \(\iff (\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x') \iff\) tout élément de F a au plus un antécédent dans E.

Terme

Bijectivité

Définition

f est bijective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, \exists!x\in E, y=f(x))\iff\) tout élément de F a un unique antécédent par f dans E. \(\iff\) f est injective et surjective.

Terme

Fonction injective et surjective

Définition

\(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: [0,2\pi[ \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x)\)

Terme

Fonction injective et non surjective

Définition

\(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)

Terme

Fonction non injective et surjective

Définition

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: \mathbb{R} \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x), \cos(x)\)

Terme

Fonction non injective et non surjective

Définition

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)