Progression

  • Ensemble

    Il est constitué d'éléments et est défini par une relation d'appartenance

  • Assertion

    Phrase grammaticalement correcte dont on peut dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse

  • Vérité d’une impliqation dont la première assertion est fausse

    Vrai

  • Contraposée d’une implication

    \((P \Rightarrow Q) \iff ( \neg Q \Rightarrow \neg P)\)

  • Négation d’une implication

    \( \neg (P \Rightarrow Q) = P \wedge \neg Q\)

  • Prédicat

    une phrase correcte qui dépend de variables et dont on peut dire la valeur de vérité pour tout k-uplet donné

  • Tautologie

    Formule propositionnelle toujours vraie

  • Contradiction

    Formule propositionnelle toujours fausse

  • Raisonnement par récurrence

    Si \((P(0)\) et \(( \forall n\in \mathbb{N}, P(n) \Rightarrow P(n+1)\), alors \( \forall n\in \mathbb{N}, P(n)\)

  • Récurrence à 2 pas

    Si \((P(0)\wedge P(1)) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \wedge P(n+1) \Rightarrow P(n+2))\), alors \(P(n)\).

  • Récurrence forte

    Si \(P(0) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, [\forall \mathbb{R} \in \{0,\dots,n\}, P(k) \Rightarrow P(n+1)])\), alors \(P(n) \forall n \in \mathbb{N}\).

  • 2 ensembles sont égaux ssi

    \(\forall x, x \in E \iff x \in F\(

  • E est inclu dans F ssi

    \(\forall x, x \in E \Rightarrow x \in F\). On écrit alors \(E \subset F\). E est un sous ensemble de F

  • Propriété et unicité de l’ensemble vide

    Il existe un unique ensemble appelé ensemble vide noté \(\varnothing\), tel que \(\forall x, x \notin \varnothing\).

  • Parties de E

    L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E est un Ensemble E, que l'on note P(E)

  • Notation de l’ensemble des des x de E qui vérifient P(x)

    la collection des x de E qui vérifient P(x) est un ensemble. On le note \((x, x \in E \wedge P(n)\)

  • Notation de \(E \backslash F\)

    L’ensemble \(\{x \in E, x \notin F\}\)

  • Prduduit cartésien

    l'ensemble des couples \(E\times F = \{(x;y), x\in E, y \in F\}\)

  • Complémentaire de A dans E

    Noté \(\bar{A}\), c' est l'ensemble défini par \(x\in \bar{A} \iff x \notin A\). Ainsi, \(\bar{A} = \{x\in E, x\notin A\}\)

  • \(\overline{A\cap B} = ? \) \(\overline{A\cup B} = ?\)

    \(\overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\). \(\overline{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\)

  • \(A\cap(B\cup C) = ?\) \(A\cup (B\cap C) = ?\)

    \(A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\). \(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)

  • \(\bar{\varnothing} = ?\). \(\bar{E} = ?\). \(\bar{\bar{A}} = ?\).

    \(\bar{\varnothing} = E\). \(\bar{E} = \varnothing\). \(\bar{\bar{A}} = A\).

  • Définition de \(\bigcap\limits_{i\in I}\)

    \(\bigcap\limits_{i\in I} = \{x, x\in F_i, \forall i \in I\}\).

  • Définition de \(\bigcup\limits_{i\in I}\)

    \(\bigcup\limits_{i\in I} = \{x, \exists i\in I, x\in F_i\}\).

  • Surjectivité

    f est surjective de \(E \rightarrow F \iff \forall y\in F, \exists x\in E, y = f(x) \iff\) tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.

  • Injectivité

    f est injective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x'))\) \(\iff (\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x') \iff\) tout élément de F a au plus un antécédent dans E.

  • Bijectivité

    f est bijective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, \exists!x\in E, y=f(x))\iff\) tout élément de F a un unique antécédent par f dans E. \(\iff\) f est injective et surjective.

  • Fonction injective et surjective

    \(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: [0,2\pi[ \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x)\)

  • Fonction injective et non surjective

    \(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)

  • Fonction non injective et surjective

    \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: \mathbb{R} \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x), \cos(x)\)

  • Fonction non injective et non surjective

    \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)