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Ensemble
Il est constitué d'éléments et est défini par une relation d'appartenance
Assertion
Phrase grammaticalement correcte dont on peut dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse
Vérité d’une impliqation dont la première assertion est fausse
Vrai
Contraposée d’une implication
\((P \Rightarrow Q) \iff ( \neg Q \Rightarrow \neg P)\)
Négation d’une implication
\( \neg (P \Rightarrow Q) = P \wedge \neg Q\)
Prédicat
une phrase correcte qui dépend de variables et dont on peut dire la valeur de vérité pour tout k-uplet donné
Tautologie
Formule propositionnelle toujours vraie
Contradiction
Formule propositionnelle toujours fausse
Raisonnement par récurrence
Si \((P(0)\) et \(( \forall n\in \mathbb{N}, P(n) \Rightarrow P(n+1)\), alors \( \forall n\in \mathbb{N}, P(n)\)
Récurrence à 2 pas
Si \((P(0)\wedge P(1)) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \wedge P(n+1) \Rightarrow P(n+2))\), alors \(P(n)\).
Récurrence forte
Si \(P(0) \wedge ( \forall n \in \mathbb{N}, [\forall \mathbb{R} \in \{0,\dots,n\}, P(k) \Rightarrow P(n+1)])\), alors \(P(n) \forall n \in \mathbb{N}\).
2 ensembles sont égaux ssi
\(\forall x, x \in E \iff x \in F\(
E est inclu dans F ssi
\(\forall x, x \in E \Rightarrow x \in F\). On écrit alors \(E \subset F\). E est un sous ensemble de F
Propriété et unicité de l’ensemble vide
Il existe un unique ensemble appelé ensemble vide noté \(\varnothing\), tel que \(\forall x, x \notin \varnothing\).
Parties de E
L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E est un Ensemble E, que l'on note P(E)
Notation de l’ensemble des des x de E qui vérifient P(x)
la collection des x de E qui vérifient P(x) est un ensemble. On le note \((x, x \in E \wedge P(n)\)
Notation de \(E \backslash F\)
L’ensemble \(\{x \in E, x \notin F\}\)
Prduduit cartésien
l'ensemble des couples \(E\times F = \{(x;y), x\in E, y \in F\}\)
Complémentaire de A dans E
Noté \(\bar{A}\), c' est l'ensemble défini par \(x\in \bar{A} \iff x \notin A\). Ainsi, \(\bar{A} = \{x\in E, x\notin A\}\)
\(\overline{A\cap B} = ? \) \(\overline{A\cup B} = ?\)
\(\overline{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\). \(\overline{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\)
\(A\cap(B\cup C) = ?\) \(A\cup (B\cap C) = ?\)
\(A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\). \(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\)
\(\bar{\varnothing} = ?\). \(\bar{E} = ?\). \(\bar{\bar{A}} = ?\).
\(\bar{\varnothing} = E\). \(\bar{E} = \varnothing\). \(\bar{\bar{A}} = A\).
Définition de \(\bigcap\limits_{i\in I}\)
\(\bigcap\limits_{i\in I} = \{x, x\in F_i, \forall i \in I\}\).
Définition de \(\bigcup\limits_{i\in I}\)
\(\bigcup\limits_{i\in I} = \{x, \exists i\in I, x\in F_i\}\).
Surjectivité
f est surjective de \(E \rightarrow F \iff \forall y\in F, \exists x\in E, y = f(x) \iff\) tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.
Injectivité
f est injective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x'))\) \(\iff (\forall x, x' \in E, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x') \iff\) tout élément de F a au plus un antécédent dans E.
Bijectivité
f est bijective de \(E \rightarrow F \iff (\forall x, x' \in E, \exists!x\in E, y=f(x))\iff\) tout élément de F a un unique antécédent par f dans E. \(\iff\) f est injective et surjective.
Fonction injective et surjective
\(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: [0,2\pi[ \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x)\)
Fonction injective et non surjective
\(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)
Fonction non injective et surjective
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+: x \mapsto x^2, f: \mathbb{R} \to [-1,1]: x \mapsto \sin(x), \cos(x)\)
Fonction non injective et non surjective
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2\)