Terme

Réciproque et bijectivité

Définition

Soit \(f : E\rightarrow F\) une application. S'il existe \(g : F\rightarrow E\) une application telle que : \(g\circ f = Id_E\) et \( f\circ g = Id_F\), alors \(f\) est bijective et \(g\) est la réciproque de \(f\)..

Terme

Ensemble de définition

Définition

Soit \(f\) de R dans R une fonction. Le domaine de définition de \(f\) est l'ensemble, noté \(Df = \{x\in R, f(x) \text{existe}\}\) Alors, \(Df\rightarrow R\) est une application.

Terme

Monotonie et injectivité

Définition

Soit \(f : I\rightarrow R\), si \(f\) est strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) est injective de I sur \(\mathbb{R}\).

Terme

Voisinage épointé

Définition

Un intervalle ouvert contenant \(x_0\), privé de \(x_0\). On le note \(V_{x_0}\). \(V_{x_0} = ]x_0-\epsilon,x_0+\epsilon[\setminus \{x_0\}\)

Terme

Limite finie en un point

Définition

f a une limite finie si \(\forall \varepsilon >0, \exists \alpha >0, \forall x, 0< |x-x_0|<\alpha \Rightarrow |f(x) – l|<\epsilon\).

Terme

Limite finie en \(+\infty\)

Définition

Si \(\forall \epsilon >0, \exists A>0, x>A \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon\)

Terme

Limite infinie en un point

Définition

f a une limite valant \(+\infty\) si \(\forall A >0, \exists \alpha >0, 0<|x-x_0|<\alpha \Rightarrow f(x)>A\)

Terme

Limite infinie en \(+\infty\)

Définition

Si \(\forall A>0, \exists R>0, x>R \Rightarrow f(x)>A\)

Terme

Théorème des valeurs intermédiaires

Définition

Soit \(f:I\to\mathbb{R}\) une fonction et \((a \leq b)\in I\). On suppose \(f\) continue sur \([a,b]\). Alors \(\forall y_0 \in [f(a),f(b)], \exists x_0\in[a,b], y_0=f(x_0)\).

Terme

Variante du TVI

Définition

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(f(a)\times f(b) \leq 0\), alors \(\exists c\in[a,b], f(c)=0\).

Terme

Théorème de Heine

Définition

L'image continue d'un intervalle fermé et borné est un intervalle fermé et borné. Soient \(a \neq b \in\mathbb{R}\) et \(f:[a,b] \to \mathbb{R}, f\) continue sur \([a,b]\), alors \(\exists m\in\mathbb{R},M\in\mathbb{R}, m\leq M\) tels que \(f([a,b] = [m,M]\) en particulier \(\exists x_0\in[a,b], f(x_0) = m\) et \(\exists x_1\in[a,b], f(x_1) = M\).

Terme

Réciproque d’une application continue strictement monotone

Définition

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et strictement monotone sur \([a,b]\), alors \(f\) réalise une bijection de \([a,b]\) dans \(J=[f(a),f(b)]\) et \(f^{-1} : J\to I\) sa réciproque, de même monotonie sur \(J\)

Terme

Théorème de Rolle

Définition

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\) et \(f(a) = f(b)\). Alors \(\exists c\in]a,b[, f'(c) = 0\)

Terme

Théorème des accroissements finis

Définition

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\). Alors \(\exists c\in]a,b[, \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)

Terme

Définitions de la Dérivabilité

Définition

\(f\) est dérivable en \(x_0\) si \(\Lim{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) existe et est finie. On note alors cette limite \(f'(x_0)\). OU \(\Lim{x\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) existe et est finie. OU \(\exists l\) et une fonction \(\varepsilon(x)\) dont la limite en \(a\) est nulle, tels que \(f(x) = f(a)+l(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)\).

Terme

Définitions de la Continuité

Définition

\(f\) est continue en \(x_0\) si \(\Lim{x\to x_0} f = f(x_0)\). OU \(\forall \varepsilon >0,\exists \alpha >0, |x-x_0|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\) OU \(\forall (U_n), \Lim{\infty}f(U_n) = f(x_0)\). On a donc : \(\Lim{\infty} f(U_n) = f(\Lim{\infty} U_n)\)