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Oscillateur
Se dit de tout système physique manifestant la variation d'une grandeur physique autour d'une position d'équilibre.
Oscillateur amorti
Se dit d’un système dont l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps, du fait, principalement de la dissipation de l'énergie.
Force de rappel d’un ressort
\(- \vec{F_r} = k(x-l_0)\vec{e_x}\) avec \(l_0\) sa longueur à vide et \(k\) sa constante de raideur
Équation d’un OH
\(\ddot{x}+\omega_0^2x = 0\)
La solution de l’EQD d’une OH (3 formes)
\(x(t)=\underline{C_1}e^{-i\omega_0t} + \underline{C_2}e^{+i\omega_0t}\), \(x(t)=A\cos(\omega_0t) + B\sin(\omega_0t)\) et \(x(t) = C\cos(\omega_0t+\varphi)\) ou \(x(t) = D\sin(\omega_0t+\eta)\)
Trouver les constantes d’intégration d’une solution d’un OH
On en trouve une avec les conditions initiales appliquées à x(t) et une autre avec les conditions appliquées à v(t)
Période des oscillations d’un OH
\(T = \frac{2\pi}{\omega_0}\)
EQD d’un OH amorti
\(\ddot{x} + \frac{1}{\tau}\dot{x} + \omega_0^2x = 0\)
Expression du \(\Delta\) de l’équation caractéristique de l’EQD d’un OH amorti
\(\Delta = \frac{1}{\tau^2} - 4\omega_0^2\) = \(\frac{1}{\tau^2}(1-4\omega_0^2\tau^2)\) = \(\frac{1}{\tau^2}(1-4Q)\)
Dans un OH amorti, lien entre les valeurs de \(\Delta\), Q et le type de régime
Régime pseudo-périodique : \(\Delta < 0 \iff Q > 1/2\), Régime apériodique : \(\Delta > 0 \iff Q < 1/2\), Régime critique : \(\Delta = 0 \iff Q = 1/2\)
Solution d’un OH à régime pseudo-périodique
\(x(t) = e^{-\frac{t}{2\tau}} (A\cos(\omega_at) + B\sin(\omega_at))\) avec \(\omega_a = \omega_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\)
Solution d’un OH à régime apériodique
\(x(t) = e^{-\frac{t}{2\tau}}(C_1e^{-\beta t} + C_2e^{+\beta t}\) avec \(\beta =\omega_0\sqrt{-1+\frac{1}{4Q^2}}\)
Solution d’un OH à régime critique
\(x(t) = C_1e^{-\frac{1}{2\tau}t} + C_2te^{-\frac{1}{2\tau}t}\)
Courbes pour Q autour de 1/2